Single-Qubit盖茨¶
经典一元逻辑门¶
好吧!至此,我们已经讨论过什么是量子位,我们谈到了布洛赫球体的可视化量子位的标准方法。让我们谈谈量子计算机,他们如何计算量子位。
在经典计算机中,我们使用逻辑门的基本结构与输入位产生输出位。大多数时候,我们认为这些输入和输出是不同的物理碎片。我们有四个一元门(门,只采用一个比特作为输入):
- 清晰的,设置输出为0
- 马克,总是将输出设置为1
- 身份,不管输入是输出
- 否定(不)相反,设置输出的输入
提醒一下,这里是他们每个人的真值表:
清晰的
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 0 |
马克
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
身份
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
否定
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
量子一元逻辑门¶
量子计算机使用一个模拟的古典逻辑门的原始量子位操纵结构,足够方便,被称为量子逻辑门。在功能上,他们不同于古典逻辑门在两个主要方面:
- 输入量子位的量子门和输出量子位是相同的量子位。与古典逻辑门,量子逻辑门直接修改输入量子位。一个更computer-sciencish说这是方式量子比特是可变的。表示为函数代码时,量子门不返回任何东西——他们直接修改他们的量子位的参数。
- 量子逻辑门不是由真值表。相反,他们表示为矩阵。
- 更具体地说,量子盖茨表示为酉矩阵。这些都是方阵,\ \ (),这样对所有的向量\ \ (x)的规范\ (Ax \)和\ \ (x)是相同的(Ax \ (| | | | = | | x | | \))。自从量子位与复数向量条目范数等于1,我们可以看到为什么我们会关心的线性变换,在向量1范数和输出向量与标准1。
- 这也意味着量子门,根据定义,可逆的——如果你把东西然后你跑的逆大门(酉矩阵的逆)输出,你总是拿回原来的输入。事实证明任何酉矩阵,\ \ ()有一个逆,逆的共轭转置的\ \ ()。
- 盖茨的一元(只作用于一个量子位的),一个逻辑门2 x2的矩阵。
- 当一个量子计算机应用逻辑门量子位,需要门的矩阵的乘积,量子位的状态向量。量子位的结果状态将乘法的结果。
有很多超过四量子一元门。从技术上讲,因为量子位振幅可以是任何真实的或复杂的数字,可能有无穷多量子比特量子门,因此可能会有无限多的可能将任意输入任意输出。但在实践中,我们倾向于坚持“标准”的定义良好的大门。一会儿,我们就去在这组标准看到它们是如何工作的,他们所做的量子位。,虽然之前,我将提供一些解释关于如何解释量子门。
应用量子位盖茨¶
因为量子比特用向量表示,因为量子位盖茨用矩阵表示,这是公平地说,量子计算机在计算矩阵数学有效地非常快。我们当然可以这么做——事实上,如果我们想模拟量子计算机,我们最终只会做很多标量加法,乘法,向一群向量和矩阵张量产品。这是大多数量子模拟器,运行在传统硬件(如你的笔记本或台式机)做。
做数学无疑是一个正确的方式去思考量子操作,和对一些人来说,它实际上是首选路线。那完全没问题!对于我们,然而,我们发现有点乏味的数学除了最简单的问题,所以我们有另一种思考方式量子位元——一个电话回古典真值表。
因为每个量子位有两个独立的振幅\ \(刃{0}\)和\ \(刃{1}\)州,我们只是认为量子逻辑门的的\ \(刃{0}\)和\ \(刃{1}\)州。换句话说,我们只是建立一个每个门的真值表。事实证明这确实是你所需要的为了理解量子力学——你可以忽略所有的向量和矩阵数学如果你不想使用它。它总是在你的身边可以依靠,如果你需要它,但在我们看来,这是更容易概念化量子逻辑门的真值表。
在剩下的部分,我将过去我们使用的标准single-qubit盖茨最常在量子计算。
我(身份)¶
为我们的第一个例子的量子门,我会选择最简单的一个。的我门也称为身份门,是一样的经典身份门:它将输出作为输入到相同的状态。从输入和输出量子位是相同的量子位的量子门,这意味着门有效地不做任何输入量子位。
开始,作为一个演示中,我将展示这门工作从数学的角度来看。我们会得到真值表解释。如上所述,量子一元门由2 x2酉矩阵表示。这是我门的矩阵:
毫不奇怪,这是单位矩阵。我们应用这门几量子位来显示会发生什么当量子计算机运行这个门。提醒一下,这是点积是2 x2矩阵\ \(米)和一个2 x1向量\ \ (v):
让我们做数学,看看它在任意一个量子位状态:
作为一个提醒,我门(像所有量子门)实际上并不“回归”,在计算机科学背景。它直接修改量子位。这就像一个引用传递风格的功能。
总之,无论输入,输出总是相同的。这就是为什么这叫做单位矩阵,进而单位大门。如您所料,这真值表一样经典的身份,尽管它使用凯茨代替个人部分:
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| \ \(刃{0}\) | \ \(刃{0}\) |
| \ \(刃{1}\) | \ \(刃{1}\) |
X(不)¶
下一个门是另一个熟悉的面孔,它的使用所有的时间在量子计算:这一个叫泡利X门(X门),但它也被称为非门。正如你可能已经猜到了,这是经典的量子模拟非门,也称。这是它的矩阵:
这是它的真值表:
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| \ \(刃{0}\) | \ \(刃{1}\) |
| \ \(刃{1}\) | \ \(刃{0}\) |
这是把\ \(刃{0}\)国家进\ \(刃{1}\)状态,\ \(刃{1}\)国家进\ \(刃{0}\)状态。这就是为什么它被称为非门,偶尔也称为bit-flip门出于这个原因。更普遍的是,它将交换的振幅\ \(刃{0}\)和\ \(刃{1}\)一个量子位元州:
这很有趣,各种各样的东西可能是有用的。但是有一个问题仍然在我们的头:为什么也叫X门?很明显它为什么叫做不是,但X的名字来自哪里?解释,我们要回到布洛赫球体。
X门和布洛赫球体¶
证明这是怎么回事,我要选四个例子量子位。我们希望他们成为积极的Z轴(之间的均匀间隔的\ \(刃{0}\)和积极的X轴(状态)\ \(刃{+}\)状态)。一个简单的方法来找出他们的振幅应与前一节所示的球面坐标表示。因为我们不关心虚部,我们坚持x z平面上在这个类中,我们可以忽略的角度φ\ (\ \)完全,就让它为零。如果我们这样做,一个量子位元的方程是:
均匀空间四个量子位,我们想要的角度\θ(\ \)= 0°、30°、60°、90°+ Z轴+ X轴(0,\ \(π∕6 \),\ \(π∕3 \),\ \(π∕2 \)在弧度)。做数学,我们得到了这些国家的四个量子位元:
这就是这些量子位看起来像当我们图上布洛赫领域:
请注意,这并不是整个3 d球体——我已经删除了Y轴,因为我们不会在这个类处理的阶段。
无论如何,应用X门这些量子位元是很容易的,因为X门翻转顶部和底部状态向量的元素。这就是每个量子位成为X门上运行:
好玩的部分。这就是这些量子位布洛赫球:
看到这里发生了什么?X门镜子量子位约X轴的布洛赫球体。这就是为什么它被称为X门。注意,技术上发生的事情在整个布洛赫球体是量子位在X轴旋转了180度,所以它看起来像一个反射在我们绿色的部分。一般来说,事实证明所有一元量子门旋转角周围一些的布洛赫球轴!
这是一个很好的演示为什么布洛赫领域是一个有用的可视化工具。你可以只是“做数学”,计算一个量子位的状态向量矩阵的基础上门口被应用,但这并不总是提供一些直观的门在做什么。视觉学习者,我们中的许多人,布洛赫球使盖茨更容易理解。
好了,掌握了这些知识,让我们来看看一些盖茨。
Z (Phase-Flip)门¶
下一个门是Z门,这是另一个,你会看到到处使用。这个门不实际上有一个经典的模拟;这是一个门,只有在量子计算是有意义的。它也被称为“phase-flip门”原因很明显当你看它的矩阵:
这是它的真值表:
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| \ \(刃{0}\) | \ \(刃{0}\) |
| \ \(刃{1}\) | \(- \刃{1}\) |
这是第一个门,没有一个经典。它离开了\ \(刃{0}\)状态,但它否定的振幅\ \(刃{1}\)状态:
就像X门镜子量子位约X轴的布洛赫球体,Z门反映它们在Z轴。要展示这一点,让我们把它应用到四个原始量子比特与前面的示例:
Z之后,他们成为:
它可能不会理解为什么现在这本质上是有用的;我们会在今后的课程中,当我们讨论量子干涉。现在,重要的是你明白什么Z门以及如何应用它。
阿达玛(H)门口¶
第三个门,我们将看看叫做阿达玛门,或简称为H门口。这当然是一个最重要的,如果没有的最重要的single-qubit门量子逻辑门阿森纳。这门看起来很不同寻常的相比,到目前为止,您已经看到的所有东西都:
最简单的方法来解释为什么这个门如此重要的是通过展示它的真值表,所以你可以看到它\ \(刃{0}\)和\ \(刃{1}\)状态:
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| \ \(刃{0}\) | \ \(压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{0}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{1}\) |
| \ \(刃{1}\) | \ \(压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{0}- \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{1}\) |
H门口转\ \(刃{0}\)成\ \(刃{+}\)和\ \(刃{1}\)成\ \(刃{-}\)。这门通常是如何解锁量子叠加的力量。让我们试着看着它四个例子量子位布洛赫领域:
H后,量子比特在这些州:
它看起来像它让我们四个量子位开关的地方。\ \(刃{}\)成为\ \(刃{d} \),\ \(刃{b} \)成为\(\刃c {} \),反之亦然。它是怎么做的呢?从本质上讲,H是一个特殊的门,镜子量子位约X = Z轴定义为:
这非常有利于量子位相位信息转换成经典测量信息和把事情的叠加,我们玩在今后的课程中,当我们的实践问题。
其他标准门¶
目前为止提供的三个重要的盖茨(X, Z, H)可能是最常见的“原始”的大门,你会看到在量子算法(原始意味着他们基本原子操作,大多数量子计算机可能会支持)。这就是说,有一些更原始的盖茨标准集。我们不会使用这些在这个类中,但他们仍然很高兴知道。
Y门¶
的Y门你可以猜,镜子量子位约Y轴的布洛赫球体。这是有点奇怪的矩阵:
基本上,这互换\ \(刃{0}\)和\ \(刃{1}\)振幅(如X门),新事物的否定\ \(刃{0}\)州的振幅,增加振幅虚数单位。它看上去不像是会绕Y轴旋转的影响,但是一旦你考虑全球阶段,它有效地做同样的事。
S门¶
的年代门的平方根是Z门;也就是说,它是一个矩阵,\ (\),这样Z \ \ (^ 2 =)。而不是旋转180°Z轴的量子位,它只量子位90°旋转逆时针(向积极的Y轴)。因此应用年代门量子位两次是一样的应用一个Z门。
例如,这将打开\ \(刃{+}\)国家进\(\刃我{+}\)状态。它的矩阵是这样的:
T门¶
的T门是一个年代的平方根门(Z的第四根门)。
$ $ T = \开始{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & \压裂{1 + i} {\ sqrt {2}} {bmatrix} \结束
$ $
任意旋转盖茨¶
盖茨的一元,X, Y, Z, H, S和T本质上是所有的原始single-qubit盖茨,你会遇到在量子计算。然而,正如我们之前提到的,有无限的可能的量子位州和这些门就不能任意量子位变成其他任意的量子位。,大多数量子软件框架给我们三个盖茨为了这个目的,通常被称为任意旋转盖茨。
这些门并不是原始的,他们组成一个序列的其他原始盖茨(包括一个我们还没有介绍,称为把CNOT)。使用他们,他们可以任意接近的近似球体周围的旋转与布洛赫,并可以任意量子位转换成任何所需的状态。事实上,他们不是原始的对我们不重要,这是一个硬件实现细节。
Rx门口¶
的Rx门可以执行任何在X轴旋转布洛赫的球体,这意味着它可以移动量子位- z平面。矩阵,这取决于你使用哪个软件框架,但它通常是这样的:
最重要的是要注意这个矩阵是它参数化——它需要一个角度\θ(\ \),这意味着矩阵本身取决于你旋转的角度。
一门¶
的一门用于任意绕Y轴旋转的布洛赫球体。当你想要移动量子位x z平面上的怪异,不均匀,这是你想要的门使用。这是典型的矩阵为:
我们将使用这个门的一些练习这门课,我们想四处移动x z平面,因为飞机是唯一我们关心的地方(唯一的地方,不涉及虚数)。
Rz门和相移门¶
的Rz门用于在Z轴旋转的布洛赫球体,所以它可以移动量子位x - y平面。实际上有两种不同的方式来表示这一个。第一种方式旋转量子位和全球阶段适用于:
这不是真正使用,因为它应用的阶段\ \(刃{0}\)我们通常不希望的状态。被称为第二个版本相移门比Rz和绝对是更经常使用;它还在Z轴旋转量子位,但它并不适用全球阶段,所以\ \(刃{0}\)状态是没有旋转后一个阶段:
注意,这是第一个版本一样,只是乘以一个全球的阶段我\ \ (e ^{θ∕2}\)。也请注意,它使用φ\ (\ \)而不是\θ(\ \)角参数,因为φ\ (\ \)是符号用于指示的相位角量子位的时候写在球坐标(X轴的角度在X - y平面,这基本上是我们创建这个旋转)。
测量门¶
最后single-qubit门谈论的测量门。这不是真正严格意义上的一扇门,因为它没有一个矩阵相关联的;它更像是一个量子操作相反。但是,因为所有的其他盖茨也可以被认为是量子操作,测量通常是包含在这一类。
测量是一种非常特殊的操作,因为它是唯一一个不可逆的。与所有其他的门,你可以“撤销”运用的伴随版本他们拿回原来的输入。然而,一旦你衡量一个量子位,没有办法恢复到原来的状态;你不能“un-measure”一个量子位。叠加会崩溃的\ \(刃{0}\)或\ \(刃{1}\)叠加状态,所有的信息都将丢失。
门回顾¶
在我们继续之前,让我们回顾一下盖茨和他们做什么。
原始的盖茨:
- 的我(身份)没有门。这是一个空操作。
- 的X(不)镜子量子位约X轴的布洛赫球体。互换的振幅\ \(刃{0}\)和\ \(刃{1}\)州,基本上把\ \(刃{0}\)成\ \(刃{1}\)反之亦然。这是经典的量子版本不是门。
- 的Z (Phase-Flip)门镜子在Z轴量子位。它离开了\ \(刃{0}\)状态,和翻转的阶段\ \(刃{1}\)从正到负状态,反之亦然。
- 的H(阿达玛)镜子量子位X + Z轴。结果\ \(刃{0}\)成\ \(刃{+}\)和\ \(刃{1}\)成\ \(刃{-}\)。用来把量子位的叠加,并导致量子干涉(稍后讨论)。
- 的Y门镜子在Y轴量子位。它基本上是一个X和Z盖茨的组合。
- 的年代门在Z轴旋转90°量子位,逆时针方向。
- 的T门在Z轴旋转45°量子位,逆时针方向。
任意旋转盖茨:
- 的Rx门可以旋转在X轴量子位任何你想要的角度。
- 的一门可以绕Y轴旋转量子位任何你想要的角度。
- 的Rz门可以旋转量子位任何你想要的角度在Z轴,但这一个阶段适用于\ \(刃{0}\)状态。
- 的φ\ (R_ \ \)(相移)门在Z轴旋转量子位任何你想要的角度,但它不适用的阶段\ \(刃{0}\)所以通常优于Rz状态。
测量:
- 的测量门崩溃的量子位\ \(刃{0}\)或\ \(刃{1}\)状态,破坏其叠加信息。要么测量状态的概率取决于振幅,中描述量子比特部分。
- 测量是唯一的门,不可逆的。
知识检查¶
第一季度¶
X(不)门:
删除一个量子位
B:翻转阶段
C:互换的振幅\ \(刃{0}\)和\ \(刃{1}\)条款。
回答
C
第二季¶
如果你应用X大门\ \(刃{0}\)它变成了
答:\ \(刃{0}\)
B:\ \(刃{1}\)
回答
B
第三季¶
测量门
是可逆的
B:崩溃的量子位\ \(刃{0}\)或\ \(刃{1}\)状态
C:破坏量子位的叠加信息
回答
B和C
第四季度¶
Z应用于门\ \(压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{0}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{1}\)结果
答:\(- \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{0}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{1}\)
B:\ \(压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{0}- \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{1}\)
C:\ \(压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃+ \压裂{1}{1}{\ sqrt{2}} \刃{1}\)
回答
B
Q5¶
H(阿达玛门)
180度旋转一个量子位的行X = Z
B:转\ \(刃{1}\)成\ \(刃{+}\)
C:转\ \(刃{0}\)成\ \(刃{+}\)
D:是不可逆的
回答
A和C
Q6¶
您创建一个量子位\ \(刃{0}\)状态,你确一个X门,那么一个h .量子位的最终状态是:
答:\ \(刃{+}\)
B:\ \(刃{0}\)
C:\ \(刃{-}\)
D:\ \(刃{1}\)
回答
C
迄今为止¶
您创建一个量子位\ \(刃{0}\)状态,施加一个Z门。量子位的最终状态是:
答:\ \(刃{1}\)
B:\ \(刃{0}\)
C:\ \(刃{+}\)
D:\ \(刃{-}\)
回答
D
好吧!与原始的盖茨,我们现在可以开始编写量子程序。