Bernstein-Vazirani算法¶

另一个玩具的问题¶

就像叫做deutsch - jozsa问题,Bernstein-Vazirani问题是一个玩具的问题你有黑盒功能,你想了解与尽可能少的迭代。就像之前一样,黑盒函数\ (n \)的输入和输出一个点:

公共bool黑箱(位[]输入)

然而,在这种情况下,而不是一个常数或平衡的功能,我们知道oracle函数,\ \ (f),执行逐位输入比特串的点积\ (x = x_0x_1…间{n} \)有一些固定的位串(尽管未知)\ (s = s_0s_1…s_ {n} \)。这是\ (\ (f (x) = (s_0x_0) \ oplus (s_1x_1) \ oplus…\ oplus (s_ {n}间{n}) \)。\)

这里的目标是找出神秘的值字符串,\ (\),尽可能少的迭代函数的。经典,我们知道我们可以算出\ (\)与\ (n \)函数的迭代。我们可以探测函数通过输入一个字符串我\ \ ()th位设置为1和所有其他位设置为0。然后函数将输出的价值\ (s_i \)。因为我们得到每迭代函数的一个比特的信息,我们不知道\ (\)在不到\ (n \)迭代。然而,使用量子算法,我们可以算出\ (\)在一个迭代中!

实现了甲骨文¶

如果我们被告知要经典实现这样一个函数,\ \ (f),和字符串\ (\),我们怎么做?更具体地说,我们有一个输入寄存器组成的\ (n \)位initilized位输入的值\ \ (x)和一个输出寄存器const一点初始化为0。我们的目标是为我们设置输出的价值\ \ (f (x))。从本质上讲,这是怎样的

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首先,我们可以注意到,如果一点\ (\),\ (s_i \)比的值是零\ (x_i \)没有对输出的影响\ \ (f)。因此,我们可以把这些位仅在注册。另一方面,如果\ (s_i = 1 \),然后切换\ (x_i \)在0和1之间翻转所产生的价值\ \ (f (x))。我们可以通过添加一个实现这个把CNOT门每一个非零,\ (s_i \),这将有我\ \ ()th在输入注册为一个控制和输出作为目标。

作为一个例子,如果\ (\ s = 011)的一个实现\ \ (f)看起来像

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这可以作为量子操作。注意,在甲骨文的神秘字符串的实际问题是未知的。但是我们可以放心,它的行为equivilantely与一群电路把CNOT门与某些输入比特控制和输出作为目标。我们的目标是找出哪些输入比特控制把CNOT门,哪些不喜欢。

阶段回扣(再一次)¶

量子算法,解决了这一问题非常类似于一个叫做deutsch - jozsa解决问题:翻转的输出为1状态,适用\ \ (H)盖茨对所有量子位(包括输出量子位)这个时候,应用oracle应用\ \ (H)盖茨再次,最后测量量子比特。该算法有助于展示的一个有趣的方式解释阶段回扣:应用阿达玛盖茨之前和之后把CNOT门互换把CNOT门的控制目标。

事实上,如果我们能以某种方式翻转所有把CNOT门在前面图颠倒,然后输出量子位1状态将所有把CNOT门这样一个输入寄存器初始化\ (x = 0 00…\)将成为神秘字符串\ (\)。理解阶段回扣这我们首先要确认以下矩阵相等:\ (HXH \)和\ (Z \)。的,我们可以做2×2矩阵的乘法直接看到这个。然而,我们也可以证明Z \ \ (HXH =)显示了两个量子操作状态基础上有同样的效果\ \(刃{0}\)和\ \(刃{1}\)。如果我们首先申请一个\ \ (H)门的两个州,我们得到一个\ \(刃{+}\)和\ \(刃{-}\)状态。应用一个\ \ (X)这两个州产量\ \(刃{+}\)和\(- \刃{-}\)。最后,应用另一个\ \ (H)收益率\ \(刃{0}\)和\(- \刃{1}\)相同的效果,只是门应用阶段\ (Z \)。这也表明,与阿达玛把CNOT门盖茨在目标equivilant行为CZ门:

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是equivilant

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这是因为如果控制位是1,那么一个Z \ \ (HXH =)门是应用于目标,而如果控制位为0,那么一个我\ \ (HH =)门应用。

回想一下,从盖茨控制部分的目标和控制CZ门是可以互换的。因此,如果输出位设置为1之前遇到的阿达玛盖茨电路组CZ盖茨。这些将在输入寄存器位对应于零\ (s_i \)。因为阿达玛门适用于所有输入寄存器量子位,他们都将在\ \(刃{+}\)状态。这些量子位对应\ (s_i = 0 \)将不受影响(没有控制门连接到输出量子位),而量子比特correspodning\ (s_i = 1 \)将由一个“有效的”目标CZ门这将使改变他们\ \(刃{-}\)状态。

最后,新一轮的阿达玛门会打开\ \(刃{+}\)状态输入寄存器中\ \(刃{0}\)并将\ \(刃{-}\)状态输入寄存器中\ \(刃{1}\)。因此,在测量时输入寄存器的值\ (\)编码的量子比特和测量显示\ (\)。

我们的示例应用这种\ (\ s = 011),我们正试图运行量子线路图

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