复杂的叠加
以上两项重叠
到目前为止我们已经涵盖了许多——我们经历了量子位,叠加,布洛赫的球体,single-qubit盖茨,寄存器,multi-qubit盖茨,纠缠…但我刻意事情(相对)简单直到现在。我们看了所有的叠加只有两个国家。例如,在锻炼3你看到四个钟,这只有两项的叠加:
\[开始\{对齐}\刃{\φ^ +}= \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{00}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{11}\ \ ~ \ \ \刃{\φ^ -}= \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{00}- \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{11}\ \ ~ \ \ \刃{\ Psi ^ +} = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{01}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{10}\ \ ~ \ \ \刃{\ Psi ^ -} = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{01}- \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{10}\{对齐}结束\]
真正的量子算法通常不会有这样的限制。,现在你已知道如何注册和multi-qubit盖茨工作,我们是时候起飞训练与车轮和谈论叠加超过2届。
你已经很熟悉\ \(刃{+}\)国家在这一点上,我们由应用H门注册一个量子位。现在,我们将看看会发生什么当你应用H在注册多个量子比特门。我们将从一个简单的2-qubit开始注册:
\[开始\{对齐}\刃{\ psi} & = \刃{00}\ \ ~ \ \ H (\ psi_0) \ qquad \刃{\ psi} & = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{00}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{10}\ \ ~ \ \ H (\ psi_1) \ qquad \刃{\ psi} & = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(H_1(\刃{00})\右)+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(H_1(\刃{10})\右)\{对齐}结束\]
为了帮助说明这里发生了什么,我将各州颜色代码:
\[开始\{对齐}\刃{\ psi} & = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{H_1(\刃{00})}\右)+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{红}{H_1(\刃{10})}\)\ \ ~ \ \ & = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{\压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{00}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{01}}\右)+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{红}{\压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{10}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{11}}\)\ \ ~ \ \ & = \输入textcolor{绿}{\压裂{1}{\ sqrt{4}} \刃{00}+ \压裂{1}{\ sqrt{4}} \刃{01}}+ \输入textcolor{红}{\压裂{1}{\ sqrt{4}} \刃{10}+ \压裂{1}{\ sqrt{4}} \刃{11}}\ \ ~ \ \ & = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}+ \刃{10}+ \刃{11}\右)\{对齐}结束\]
这叠加有四个不同的术语。事实上,所有四种可能的状态,两个量子位元。因为每一个都有相同的振幅,这就是所谓的一个统一的叠加。从本质上讲,这意味着两个量子位元有50%的机会\ \(刃{0}\)和50%的机会\ \(刃{1}\),但与贝尔,量子比特不是纠缠所以他们没有关系。测量第一量子位\ \(刃{0}\)没有告诉你任何关于第二个量子位;它仍然有50%的机会被状态。
我们可以做同样的事情为3-qubit注册通过应用H三量子比特门。您可能会猜测,最后的结果将是:
\[开始\{对齐}H_{所有}(\刃{000})= \压裂{1}{\ sqrt{8}} \左(\右。& \刃{000}+ \刃{001}+ \刃{010}+ \刃{011}+ \ \ & \离开了。\ \刃{100}+尿酮体{101}+ \刃{110}+ \刃{111}\)\{对齐}结束\]
像2-qubit的例子中,每一个量子位的寄存器都有50%的机会\ \(刃{0}\)和50%的机会\ \(刃{1}\),他们都是独立的。这类似于有三个连续的硬币翻转,翻转无关,所以有8同样可能的结果。
从本质上讲,应用H门中的每个量子位注册将改变的注册成一个统一的叠加所有\ (2 ^ n \)可能的状态,每个的振幅\ \(压裂{1}{\ sqrt {2 ^ n}} \),在那里\ (n \)寄存器是量子位的数量。为什么这是有用的,以及它是如何使用将进一步讨论在量子算法部分,很快,你会去编写一些代码,利用这些饱和叠加来解决一些非常有趣的问题。
构建复杂的叠加
大部分时间在量子计算中,这就是寄存器将被提出,长串的叠加显示的条款包括可能的状态和他们的振幅。叠加不需要漂亮的整洁,他们通常是相当复杂的,但这并不意味着他们总是很难构造。例如,这是一个完全有效的叠加,我们可以轻松地创建通过应用一些盖茨:
\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{000}+ \刃{010}+ \刃{100}+ \刃{111}\)\]
这乍看起来吓人,但我会做一个微小的变化,这将有助于——记住,尿酮体符号允许我们添加逗号在刃帮助语义上分开的两个不同的寄存器或量子位元:
\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00 0}+ \刃{01,0}+ \刃{10 0}+ \刃{11日1}\)\]
你现在可以看到一种模式吗?试图找出在阅读。
好的,所以前两个量子位看相同double-Hadamard状态我们上面的构造。这意味着我们可以应用H门口两人:
\[\开始{对齐}\刃{\ psi} & = \刃{00 0}\ \ ~ \ \ H (\ psi_0) \ qquad \刃{\ psi} & = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\刃{00 0}+ \刃{10 0}\)\ \ ~ \ \ H (\ psi_1) \ qquad \刃{\ psi} & = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\刃{00 0}+ \刃{01,0}\右)+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\刃{10 0}+ \刃{11,0}\)\)\ \ ~ \ \ & = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00 0}+ \刃{01,0}+ \刃{10 0}+ \刃{11,0}\)\{对齐}结束\]
第三个量子位看起来是与他们纠缠所以只有1当其他人都是1。我们可以完成CCNOT门:
\ [CCNOT (\ psi_0 \ psi_1 \ psi_2), \ qquad \刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00 0}+ \刃{01,0}+ \刃{10 0}+ \刃{11日1}\)\]
大作。这不是那么糟糕。另一个像这样的怪异的叠加怎么样?
\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{001}+ \刃{010}- \偈人{101}\刃{110}\)\]
试着看看能不能找到模式,找出盖茨使用前阅读。
对于这种状态,我们看到三件事:
- 第一个和第二个量子位都同样可能在这两种状态,所以他们很可能阿达玛。
- 第二个和第三个量子位总是对立,所以他们肯定纠缠。
- 阶段-当第一个量子位是1。
我们认为我们可以构建这个状态首先把第一和第二量子位double-H状态:
\[开始\{对齐}\刃{\ psi} & = \刃{000}\ \ ~ \ \ H (\ psi_0) \ qquad \刃{\ psi} & = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\刃{000}+ \刃{100}\)\ \ ~ \ \ H (\ psi_1) \ qquad \刃{\ psi} & = \压裂{1}{2}\离开(\刃{000}+ \刃{010}+ \刃{100}+ \刃{110}\右)\{对齐}结束\]
接下来,让我们卷入第二个和第三个量子位,把他们扔进大\ \(刃{\ Psi ^ +} \)状态:
\[把CNOT (\ psi_1 \ psi_2) \ qquad \刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{000}+ \刃{011}+ \刃{100}+ \刃{111}\)\]
现在让我们翻过去量子位的相反第二:
\ [X (\ psi_2) \ qquad \刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{001}+ \刃{010}+ \刃{101}+ \刃{110}\)\]
最后,让我们运用Z门口第一个量子位翻转的阶段:
\ [Z (\ psi_0) \ qquad \刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{001}+ \刃{010}- \偈人{101}\刃{110}\)\]
与此同时,我们已经创建了它。没什么大不了的。
女仆量子位元回扣和阶段
有时当我们试图构造一个叠加,它实际上是非常很难想出一种简单的方法来创建它。例如,看看这个:
\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}+ \刃{10}- \刃{11}\)\]
在这种叠加,它看起来像两个量子位的double-H状态,但是美国有其相位翻转。我们怎么把这事办成吗?我们需要一个操作类似,
“如果第一个量子位1和第二个量子位都是1,否定状态的阶段。”
我们看到的这句话的前半部分,看起来像一个doubly-controlled门,像CCNOT。但随着CCNOT,我们使用两个控制量子比特翻转三分之一,目标量子位。我们没有第三个量子位,即使我们做了,它将如何帮助我们抛阶段的国家吗?
事实证明,如果我们有第三个量子位,这将是一个容易得多。看看这个状态,这类似于上面的一个:
\[\刃{\ psi \ '} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00,1}+ \刃{01 1}+ \刃{10 1}- \刃{11日1}\)\]
在这种状态下,我们添加了一个新的量子位的寄存器总是在\ \(刃{1}\)状态。因为它的\ \(刃{1}\)状态,我们可以翻转与Z门口的阶段。这意味着我们可以应用与第一和第二量子位doubly-controlled Z门控制,和这个新“备用”量子位作为目标,并将最终翻转状态!
\[开始\{对齐}\刃{\ psi} & = \刃{00}\ \ ~ \ \ H (\ psi_0) \ qquad \刃{\ psi} & = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\刃{00}+ \刃{10}\)\ \ ~ \ \ H (\ psi_1) \ qquad \刃{\ psi} & = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}+ \刃{10}+ \刃{11}\右)\{对齐}结束\]
现在,我们分配一个量子位(称为\ \ ())和暂时使用它:
\[\开始{对齐}\刃{一}& = \刃{0}\ \ ~ \ \ \刃{}\ psi, & = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00 0}+ \刃{01,0}+ \刃{10 0}+ \刃{11,0}\)\ \ ~ \ \ X (a), \ qquad \刃{}\ psi, & = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00,1}+ \刃{01 1}+ \刃{10 1}+ \刃{11日1}\)\ \ ~ \ \ CCZ (\ psi_0 \ psi_1) \ qquad \刃{}\ psi, & = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00,1}+ \刃{01 1}+ \刃{10 1}- \刃{11日1}\)\{对齐}结束\]
在这一点上,注意备用量子位仍然总是1。即使我们应用doubly-controlled Z门,它实际上并没有与其他量子比特纠缠不清。我们只是用它来帮助“踢”的phase-flip Z门回原来的两个控制量子位。因为它不是纠缠,我们可以简单地扔掉它:
\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}+ \刃{10}- \刃{11}\)\]
我们完成了!事实证明我们需要时常“借”一个备用量子位的量子计算。当我们这样做时,称为一个额外的量子位附属品量子位。这里显示的特定技术,我们使用了一个助手来帮助翻转叠加一个特定的词的阶段没有卷入随从,被称为阶段回扣。这是一个非常强大的技术,我们要利用接下来会在量子算法的部分。
量子算法之前,我们想要指出,上述叠加仍然相当简单,尽管要求工程建设。往往我们会处理叠加,很奇怪,比如这个:
\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{\ sqrt{3}} \离开(\刃{00}+ \刃{01}+ \刃{10}\)\]
这种状态的样子\ \(刃{+ +}\),但它是错过了\ \(刃{11}\)术语。结果是得到一个振幅在三四个可能状态two-qubit注册只需要几门,从概念上看,这不是一个容易掌握。这是另一种奇怪的状态——这是更糟的是,因为它有不均匀振幅:
\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\刃{000}+ \压裂{1}{2 \√{2}}\刃{001}\压裂{1},{2 \√{2}}\刃{011}- \压裂{1}{2}\刃{100}\压裂{1},{2 \√{2}}\刃{101}+ \压裂{1}{2 \√{2}}\刃{111}\]
实际上这个状态编码8等间隔采样的一个完整的余弦波的振幅3-qubit登记,这是与量子计算机研究正弦和余弦波时有用。
这样我们不会处理叠加在这门课;更多的先进的算法设计领域,这只是一个简介。不过,如果你想尝试,这些国家(和其他国家)为一组提供挑战问题在实验室3。
在我们进入实验室之前,您可能已经注意到,你已经花了很多时间在过去的几课有效构建量子程序。让我们来谈谈对于量子程序,正式的符号和结构和复习一些工具来帮助您快速构建、可视化模拟,研究它们。
最后更新:2021年6月22日