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右和张量符号

客观的

熟悉的一些数学符号出现在量子信息科学。

刃(狄拉克)符号

在量子计算,我们将参考列向量与一个特殊的符号,使它更容易追踪的东西。我会详细说明这个符号是如何工作的,我们在实际的类,但就目前而言,这是最基本的。

一个列向量和所谓的写尿酮体左边的一条直线,右边一个尖括号:

\[\刃{x} = {bmatrix} \开始1 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 4 \ {bmatrix}结束\]

在谈到一个向量\ \(刃{x} \),我们通常指每个单独的元素\ (x_i \)在哪里我\ \ ()表示元素的索引。我\ \ ()可以是0或one-indexed,但你必须指定是哪个。例如,下面是如何编写的一般形式向量长度为0\ (n \):

\[\刃{x} = {bmatrix} x_0 \ \ \开始x_1 \ \…\ \间{n} \ {bmatrix}结束\]

这看起来就像我们的方式遍历一个数组的每个元素与一个for循环,所以你应该感到在家里用这个符号。

张量积

向量

量子力学用一种特殊的向量乘法,你会看到到处使用。这就是所谓的张量积。它是由一个圆象征着中间一个X:\ \ otimes \ ()。张量两个向量在一起的时候,你把整个右手向量乘以左手中的每个元素的向量。这整个乘以向量然后成为新的输出向量的元素。这是最容易看到的一个例子:

\ [\ displaylines{\刃{x} \ otimes \刃{y} = {bmatrix} x_0 \ \ \开始x_1 \ {bmatrix}结束\ otimes \开始{bmatrix} y_0 \ \ y_1 \结束{bmatrix} = {bmatrix} \开始x_0 \ cdot \ {bmatrix}开始y_0 \ \ y_1 \结束{bmatrix} \ \ x_1 \ cdot \ {bmatrix} y_0开始\ \ y_1 \ {bmatrix}结束\ {bmatrix} = {bmatrix} \开始结束x_0 \ cdot y_0 \ \ x_0 \ cdot y_1 \ \ x_1 \ cdot y_0 \ \ x_1 \ cdot y_1 \结束{bmatrix} \ \ ~ \ \ \ {bmatrix}开始1 \ \ 2 \ {bmatrix} \ otimes \结束开始{bmatrix}结束3 \ \ 4 \ \ 5 \ {bmatrix} = {bmatrix} 1 \ cdot \ \开始开始{bmatrix} 3 \ \ 4 \ \ 5 \ {bmatrix} \ \ 2 \ cdot \结束开始{bmatrix} 3 \ \ 4 \ \ 5 \ {bmatrix}结束\ {bmatrix} = {bmatrix} \开始结束3 \ \ 4 \ \ 5 \ \ 6 \ \ 8 10 \ \ \ {bmatrix}}结束\]

注意,新的向量并不像原来一样大小的,这是第一个的长度乘以第二个的长度。还要注意,最初的两个向量不必是相同的长度,像他们一样的其他操作。

当有多个张量产品,操作的顺序并不重要,只要你遵循上述模式。例如,如果我们有3凯茨张量在一起,我们可以评估第一对或第二对,最终的结果将是相同的,就是这个怪物:

\ [\ displaylines{\刃{x} \ otimes \刃{y} \ otimes \刃{z} = {bmatrix} x_0 \ \ \开始x_1 \ {bmatrix}结束\ otimes \ {bmatrix}开始y_0 \ \ y_1 \ {bmatrix} \ otimes \结束开始{bmatrix} z_0 \ \ z_1 \结束{bmatrix} = {bmatrix} x_0 \ \ \开始x_1 \ {bmatrix}结束\ otimes \ {bmatrix}开始y_0 \ cdot \ {bmatrix} z_0开始\ \ z_1 \结束{bmatrix} \ \ y_1 \ cdot \ {bmatrix}开始结束z_0 \ \ z_1 \ {bmatrix} \ {bmatrix} =结束\开始{bmatrix} x_0 \ \ x_1 \结束{bmatrix} \ otimes \ {bmatrix}开始y_0 \ cdot z_0 \ \ y_0 \ cdot z_1 \ \ y_1 \ cdot z_0 \ \ y_1 \ cdot z_1结束\ {bmatrix} \ \ ~ \ \ = \ {bmatrix}开始x_0 \ cdot \ {bmatrix}开始y_0 \ cdot z_0 \ \ y_0 \ cdot z_1 \ \ y_1 \ cdot z_0 \ \ y_1 \ cdot z_1 \结束{bmatrix} \ \ x_1 \ cdot \ {bmatrix}开始y_0 \ cdot z_0 \ \ y_0 \ cdot z_1 \ \ y_1 \ cdot z_0 \ \ y_1 \ cdot z_1结束\ {bmatrix}结束\ {bmatrix} = {bmatrix} x_0 \ cdot y_0 \ \开始cdot z_0 \ \ x_0 \ cdot y_0 \ cdot z_1 \ \ x_0 \ cdot y_1 \ cdot z_0 \ \ x_0 \ cdot y_1 \ cdot z_1 \ \ x_1 \ cdot y_0 \ cdot z_0 \ \ x_1 \ cdot y_0 \ cdot z_1 \ \ x_1 \ cdot y_1 \ cdot z_0 \ \ x_1 \ cdot y_1 \ cdot z_1结束\ {bmatrix}} \]

你可以想象,这可以成为不可能很快跟踪。幸运的是,尿酮体符号是专门用来处理张量。有四个等价的方法写这张量积:

\[\刃{x} \ otimes \刃{y} \ otimes \刃{z} = \刃{x} \刃{y} \刃{z} = \刃{x, y, z} = \刃{xyz} \]

最后形成(刃)中包含的所有变量是迄今为止最常见,当然最方便。偶尔你也会看到用逗号第三形式出现——这是非常方便,当元素本身是复合材料,但你想语义上分开。例如:

\ [\ displaylines{\刃{一}= \刃{xyz} \ \ ~ \ \ \刃{b} = \刃{uvw} \ \ ~ \ \ \刃{一}\ otimes \刃{b} = \刃{xyz, uvw}} \]

逗号形式可以让你展示你想要分裂条款(也许是因为在你的程序中,他们代表不同的数组即使张量将产生一个新的数组的组合)。无论你选择何种形式,它们的意思是一样的。

矩阵

像向量,矩阵还可以使用张量积。矩阵张量的规则是一样的向量张量:把整个右手矩阵乘以每个元素的左边矩阵。结果将是一个新的矩阵左矩阵的宽度的宽度乘以右边的宽度,高度左边的高度倍右边的高度:

\ [\ displaylines {\ otimes B = \ {bmatrix}开始现代{00}&现代{01}\ \现代{10}&现代最终{bmatrix} {11} \ \ otimes \ {bmatrix}开始B_ {00} & B_ {01} \ \ B_ {10} & B_最终{bmatrix} = {11} \ \ {bmatrix}开始现代{00}\ cdot \ {bmatrix}开始B_ {00} & B_ {01} \ \ B_ {10} & B_ {11} \ {bmatrix} &结束现代{01}\ cdot \ {bmatrix}开始B_ {00} & B_ {01} \ \ B_ {10} & B_最终{bmatrix}{11} \ \ \现代{10}\ cdot \ {bmatrix}开始B_ {00} & B_ {01} \ \ B_ {10} & B_ {11} \ {bmatrix} &结束现代{11}\ cdot \ {bmatrix}开始B_ {00} & B_ {01} \ \ B_ {10} & B_结束最终{bmatrix} {11} \ \ {bmatrix} \ \ ~ \ \ = \ {bmatrix}开始现代{00}\ cdot B_{00} &现代{00}\ cdot B_{01} &现代{01}\ cdot B_{00} &现代{01}\ cdot B_{01} \ \现代{00}\ cdot B_{10} &现代{00}\ cdot B_{11} &现代{01}\ cdot B_{10} &现代{01}\ cdot B_{11} \ \现代{10}\ cdot B_{00} &现代{10}\ cdot B_{01} &现代{11}\ cdot B_{00} &现代{11}\ cdot B_{01} \ \现代{10}\ cdot B_{10} &现代{10}\ cdot B_{11} &现代{11}\ cdot B_{10} &现代{11}\ cdot B_最终{bmatrix}} {11} \ \]

矩阵张量会很快变得非常复杂,所以我们通常只是代表他们通过结合组件的名字,就像我们与向量:

\[一个\ B \ otimes C otimes = ABC \]

额外的材料

知识检查

第一季度

让\(\刃{x} = {bmatrix} \开始从\ \ x_1 \ {bmatrix}, \: \刃{y} = {bmatrix} y_0 \ \ \开始y_1 \ {bmatrix} \结束)。下面哪个表情代表的张量积\ \(刃{x} \)和\ \(刃{y} \)吗?(选择所有适用。)

答:\ \(刃{x} \ otimes \刃{y} \)

B:\ \(刃{y} \ otimes \刃{x} \)

C:\ \(刃{x, y} \)

D:\ (\ {bmatrix}从开始\ \ x_1 \ {bmatrix} \ otimes \结束开始{bmatrix} y_0 \ \ y_1 \结束{bmatrix} \)

艾凡:\ (\ {bmatrix}开始x_0 \ cdot y_0 \ \ x_0 \ cdot y_1 \ \ x_1 \ cdot y_0 \ \ x_1 \ cdot y_1 \ {bmatrix} \结束)

第二季

\[开始\ {bmatrix} 1 \ \ 0 \ {bmatrix}结束\ otimes \开始{bmatrix} 0 \ \ 1 \结束{bmatrix} = \;吗?\]

第三季

\[开始\ {bmatrix} \压裂{1}{\ sqrt{2}} \ \ \压裂{1}{\ sqrt {2}} \ {bmatrix}结束\ otimes \开始{bmatrix} \压裂{1}{\ sqrt{2}} \ \ \压裂{1}{\ sqrt {2}} {bmatrix} \结束= \;吗?\]

第四季度

如果\ \(刃{x} {bmatrix} \ \ otimes \开始压裂{1}{\ sqrt{2}} \ \ \压裂{1},{\ sqrt {2}} \ {bmatrix} = {bmatrix} \开始结束0 \ \ \ \ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \ \ \压裂{1},{\ sqrt {2}} \ {bmatrix} \结束)是什么\ \(刃{x} \)吗?

Q5

\[开始\ {bmatrix} 1 & 2 \ \ 0 & 1 \ {bmatrix}结束\ otimes \ {bmatrix}开始我& 10 \ \ 5 & 4 \ {bmatrix} = \;吗?\]

Q6

是什么元素在3和6 ^ ^ rd行th列以下合成矩阵的张量积吗?

\[开始\ {bmatrix} & b \ \ c & d \ \ e和f \ {bmatrix} \ otimes \结束开始{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ \ 4 & 5 & 6 \ \ 7 & 8和9 \ {bmatrix}结束\]
最后更新:2022年2月15日