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量子干涉

波的干涉

在课堂上到目前为止,我们已经接触了两个关键的概念,使量子计算的:态叠加和纠缠。在本节中,我们将介绍第三个关键概念:干扰。我们已经见过,阿达玛门的方式工作,但还没有明确地谈到了为什么它——尤其是大寄存器。在我们进入之前,让我们退一步,想想水波。

在某一时刻在你的生活中,你可能遇到的照片看起来像这样一个简单的实验:

Veritasium干涉图样

图片由德里克·穆勒博士Veritasium YouTube频道:https://www.youtube.com/watch?v=Iuv6hY6zsd0

也许你见过用激光或电子束物理实验室,像这样:

双缝

图片来自维基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/Double-slit_experiment

在这两种版本,一般概念是一样的:这些都是例子干扰。当两个波的相互作用(声波,还是水波,或光波,甚至粒子),其振幅相加产生第三,复合波:

两个波的干涉

图片来自维基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_interference

在他们的地方振幅都是积极的,合成波的振幅会比单个组件的电波。如果波都是完全在阶段(所以最高点对齐),结果将具有最高的价值。这就是所谓的相长干涉。左边的模式显示了建设性干涉——底部的两个小波是组件,和更大的,大胆的波在复合。波都是完全同步的,所以他们的资金总是产生最大可能的振幅。

的地方,一个是积极的,另一个是负的,合成波的振幅将介于其中的两个。在极端情况下,海浪是完全不同相的这样一个振幅总是负的,海浪会彼此抵消。复合波振幅为零。这就是所谓的相消干涉,是显示在右边的图片。

这张照片显示了原始水波干扰模式,但随着建设性和破坏性干扰线以绿色和红色突出显示,分别为:

干扰的箭

沿着这些线路,波浪摆动球产生的影响完全双波的振幅,或者减少到零。

干扰并不仅仅局限于池塘和激光;事实证明,同样的原则也适用于量子态叠加。

量子位干涉和阿达玛门

你看到的结果应用H量子位的门\ \(刃{0}\)或\ \(刃{1}\)在这一点上一百倍。然而,你没见过的是当我们应用H量子位已经叠加。让我们做一个简单的例子,通过应用H的量子位\ \(刃{+}\)状态。

我要颜色叠加绿色和红色的两个术语,帮助分开:

\ [\ displaylines{\刃{\ psi} = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{\刃{0}}+ \输入textcolor{红}{\刃{1}}\)\ \ ~ \ \ H (\ psi_0) \ qquad \刃{\ psi} = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{H(\刃{0})}+ \输入textcolor{红}{H(\刃{1})}\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{\压裂{1}{\ sqrt{2}}(\刃{0}+ \刃{1}))}+ \输入textcolor{红}{\压裂{1}{\ sqrt{2}}(\刃{0}- \刃{1})}\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{2}\离开(\输入textcolor{绿}{\刃{0}+ \刃{1}}+ \输入textcolor{红}{\刃{0}- \刃{1}}\右)}\]

注意在这里会发生什么:两个\ \(刃{0}\)两者要结合,\ \(刃{1}\)会彼此抵消。本质上是两种状态有建设性的和相消干涉产生一个新的复合状态(在本例中)最终被比原件简单。最终的结果是这样的:

\ [\ displaylines{= \压裂{1}{2}\离开(2 \ cdot \刃{0}+ 0 \ cdot \刃{1}\)\ \ ~ \ \ = \刃{0}}\]

应用H的量子位\ \(刃{+}\)国家将把它带回\ \(刃{0}\)。这是很容易看到通过观察布洛赫领域:

块球体

从这里也可以看出,H将把\ \(刃{-}\)状态回\ \(刃{1}\)。你可以出干扰引起这种自己如果你喜欢。

干扰对量子位寄存器

计算Multi-Qubit均匀态叠加

应用H门的量子位的注册会导致干涉叠加,注册时就像一个量子位。在进入干扰之前,让我们首先定义一些叠加的州H门。让我们先从状态\ \(刃{00}\)并应用这两个量子位的H门:

\ [\ displaylines {H_{}(\刃{00})= H_1 (H_0(\刃{00}))\ \ ~ \ \ = H_1 \离开(\压裂{1}{\ sqrt{2}}(\输入textcolor{绿}{\刃{00}}+ \输入textcolor{红}{\刃{10}})\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{H_1(\刃{00})}+ \输入textcolor{红}{H_1(\刃{10})}\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{\压裂{1}{\ sqrt{2}}(\刃{00}+ \刃{1})}+ \输入textcolor{红}{\压裂{1}{\ sqrt{2}}(\刃{10}+ \刃{11})}\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}+ \刃{10}+ \刃{11}\右)}\]

我们之前见过这个,所以产生的状态是不足为奇。如果我们运用H两个量子位元的\ \(刃{01}\)国家吗?

\ [\ displaylines {H_{}(\刃{1})= H_1 (H_0(\刃{1}))\ \ ~ \ \ = H_1 \离开(\压裂{1}{\ sqrt{2}}(\输入textcolor{绿}{\刃{01}}+ \输入textcolor{红}{\刃{11}})\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{H_1(\刃{1})}+ \输入textcolor{红}{H_1(\刃{11})}\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \离开(\输入textcolor{绿}{\压裂{1}{\ sqrt{2}}(\刃{00}- \刃{1})}+ \输入textcolor{红}{\压裂{1}{\ sqrt{2}}(\刃{10}- \刃{11})}\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{2}\离开(\刃{00}- \刃{01}+ \刃{10}- \刃{11}\右)}\]

注意这里的阶段\ \(刃{01}\)和\ \(刃{11}\)方面是消极的,因为什么H门当第二个量子位是最初的\ \(刃{1}\)状态。这将是至关重要的检查发生了什么当我们应用H门所有的量子比特在叠加一个寄存器。

作为参考,H门应用到其他两个two-qubit州(\ \(刃{10}\)和\ \(刃{11}\))所示。你可以得到他们,如果你想要的,实践。

\ [\ displaylines {H_{}(\刃{10})= \压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}- \偈人{10}\刃{11}\)\ \ ~ \ \ H_{所有}(\刃{11})= \压裂{1}{2}\离开(\刃{00}- \偈人{01}\刃{10}+ \刃{11}\右)}\]

最后一个是有趣,因为造成的否定H门发生两次\ \(刃{11}\)(因为两个量子位元开始的\ \(刃{1}\)状态),因此它是积极的。

Multi-Qubit干扰

现在我们有四个州决定,阿达玛基础应用H门,其中一个,看看它会导致建设性和破坏性的干扰:

\[开始\{对齐}H_{所有}(\刃{+ +})= \压裂{1}{2}(& \ \输入textcolor{绿}{H_{所有}(\刃{00})}+ \输入textcolor{红}{H_{所有}(\刃{1})}+ \ \ & \ \输入textcolor{紫色}{H_{所有}(\刃{10})}+ \输入textcolor{蓝}{H_{所有}(\刃{11})})\{对齐}结束\]
\[开始\{对齐}= \压裂{1}{2}\ biggl(& \ \输入textcolor{绿}{\压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}+ \刃{10}+ \刃{11}\右)}+ \输入textcolor{红}{H_{所有}(\刃{1})}+ \ \ & \ \输入textcolor{紫色}{H_{所有}(\刃{10})}+ \输入textcolor{蓝}{H_{所有}(\刃{11})}\ biggr) \{对齐}结束\]
\[开始\{对齐}= \压裂{1}{2}\ biggl(& \ \输入textcolor{绿}{\压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}+ \刃{10}+ \刃{11}\右)}+ \输入textcolor{红}{\压裂{1}{2}\离开(\刃{00}- \刃{01}+ \刃{10}- \刃{11}\右)}+ \ \ & \ \输入textcolor{紫色}{H_{所有}(\刃{10})}+ \输入textcolor{蓝}{H_{所有}(\刃{11})}\ biggr) \{对齐}结束\]
\[开始\{对齐}= \压裂{1}{2}\ biggl(& \ \压裂{1}{2}\离开(2 \ cdot \刃{00}+ 0 \ cdot \刃{01}+ 2 \ cdot \刃{10}+ 0 \ cdot \刃{11}\右)+ \ \ & \ \输入textcolor{紫色}{H_{所有}(\刃{10})}+ \输入textcolor{蓝}{H_{所有}(\刃{11})}\ biggr) \{对齐}结束\]

在这一点上,前两个条件干扰消除\ \(刃{01}\)和\ \(刃{11}\)州,和其他两个振幅增加了一倍。让我们继续:

\[开始\{对齐}= \压裂{1}{2}\ biggl(& \ \压裂{1}{2}\离开(2 \ cdot \刃{00}+ 0 \ cdot \刃{01}+ 2 \ cdot \刃{10}+ 0 \ cdot \刃{11}\右)+ \ \ & \ \输入textcolor{紫色}{\压裂{1}{2}\离开(\刃{00}+ \刃{01}- \偈人{10}\刃{11}\右)}+ \输入textcolor{蓝}{H_{所有}(\刃{11})}\ biggr) \{对齐}结束\]
\[开始\{对齐}= \压裂{1}{2}\离开(\压裂{1}{2}\离开(3 \ cdot \刃{00}+ 1 \ cdot \刃{01}+ 1 \ cdot \刃{10}- 1 \ cdot \刃{11}\右)+ \输入textcolor{蓝}{H_{所有}(\刃{11})}\右)\{对齐}结束\]

条款又有干扰,\ \(刃{00}\)振幅的增长和减少其他州的振幅(甚至\ \(刃{11}\)的振幅-)。现在最后一个词:

\ [\ displaylines{= \压裂{1}{2}\离开(\压裂{1}{2}\离开(3 \ cdot \刃{00}+ 1 \ cdot \刃{01}+ 1 \ cdot \刃{10}- 1 \ cdot \刃{11}\右)+ \输入textcolor{蓝}{\压裂{1}{2}\离开(\刃{00}- \偈人{01}\刃{10}+ \刃{11}\右)}\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{2}\离开(\压裂{1}{2}\离开(4 \ cdot \刃{00}+ 0 \ cdot \刃{01}+ 0 \ cdot \刃{10}+ 0 \ cdot \刃{11}\)\)\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{4}\离开(4 \ cdot \刃{00}\)\ \ ~ \ \ = \刃{00}}\]

最后一项相消干涉,但所有的条款\ \(刃{00}\),使它一直到最大振幅。这种干扰不仅是一个整洁的阿达玛矩阵的副作用;它实际上是一个非常有用的工具,我们可以利用量子计算机有选择地挑选我们不关心,和放大状态我们关心。

的Hadamatrix

我们进入更复杂的interference-based算法之前,我们想给你一个工具探索阿达玛门,我们想出了我们学习量子计算。这是非常有用的在给我们的理解接下来的两个算法实际上是做什么在引擎盖下,所以我们希望它会对你有用。我们叫它“Hadamatrix”。从本质上说,它只是一个表显示你每个州的阶段叠加将如果H门适用于所有量子位的登记。

这是一个量子位的Hadamatrix:

单一Hadamatrix

每一行代表寄存器的初始状态,和列代表所有的州,将登记的叠加后H门应用于所有的量子位。这个词在左上角告诉你每个产生的振幅叠加状态。矩阵的身体告诉你这个词的阶段叠加(积极或消极)。这是一个带注释的版本相同的图片:

标签Hadamatrix

这个特殊的矩阵告诉你,如果你有一个量子位的\ \(刃{0}\)状态和应用H,量子位将叠加\ \(压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{0}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{1}\):

移动1

同样,如果你运用H中的单个量子位\ \(刃{1}\)状态,那么结果将是\ \(压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{0}- \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{1}\):

移动2

这是两个量子位的Hadamatrix:

双Hadamatrix

你可以看到一个模式形成的矩阵是基本上分为四个象限。左上的只是前面Hadamatrix从一个规模较小,右上和左下侧的副本,右下方的反向版本。结果振幅是公正的\ (1 / \√2 ^ {n} \),在那里\ (n \)寄存器是量子位的数量。

还有另一种方法来找出是否将会有一个\ \ (+)或\ (\)在相对应的输入行\ \(刃{x} \)和列\ \(刃{y} \)。如果\ \ (x)是一位串\ (x_0x_1…x_n \)和\ (y \)是一位串\ (y_0y_1…最大\)条目\ \ (+)如果\ ((x_0 \ cdot y_0) \ oplus (x_1 \ cdot y_1) \ oplus…\ oplus (x_n \ cdot推出)= 0 \)和\ (\)

如果这是1位点积。

这是Hadamatrix三量子位(我们会停在这里,因为它是非常大的):

三重Hadamatrix

让我们做一个快速的演示3-qubit Hadamatrix。假设我们有一个寄存器的状态\ \(刃{101}\)。根据矩阵,应用H整个注册的结果将是:

\[开始\{对齐}H_{所有}(\刃{101})= \压裂{1}{\ sqrt{8}}(& \ \刃{000}- \刃{001}+ \刃{010}- \偈人{011}\ \ & \ \刃{100}+ \刃{101}- \刃{110}+ \刃{111})\{对齐}结束\]

很快这是有用的,如果你想知道H一切的结果,因为结果阶段和每个国家的振幅可能不明显。

使用H注册已经叠加

我们给你这个状态:

\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{011}+ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \刃{101}\]

我们问你算出的结果阿达玛的量子位。假设你没有怪癖或一些模拟器告诉你答案,你有三个选择:

  1. 做数学。找出3 8×8哈达玛矩阵,并运行寄存器的状态向量。
  2. 应用分布规律。算出\ (H_0 \)在前两个方面\ (H_1 \)结果四个方面\ (H_2 \)由此产生的八项得到的16项。运用建设性和破坏性干扰相应减少。
  3. 使用Hadamatrix,它有点plug-and-chug后告诉你一切。

在这种情况下,我们有两个方面,这两个振幅开始大概{2}\ (1 / \ \)。我会在Hadamatrix一边,把原来的振幅:

Hadamatrix示例1

自其他行不在原登记的状态,我们可以摆脱他们。他们不会参与这样的计算:

Hadamatrix示例2

现在,算出结果,我们只是过程每一列。这个过程是这样的:

  1. 从第一列开始。
  2. 经过每一行的列。价值乘以原振幅(连续的振幅,在绿色突出显示),阿达玛系数(左上角的值,在这种情况下大概{8}\ (1 / \ \)),最后的阶段(细胞中的值,+ 1或者1)。
  3. 做同样的事情的后续行中的列。
  4. 添加所有这些系数在一起。总金额将是最终的振幅的状态寄存器的叠加。

对于这个示例,我们将从第一列开始:

Hadamatrix示例3

最后登记叠加状态\ \(刃{000}\)将振幅的\ \(压裂{1}{\ sqrt {2}} \ cdot \压裂{1}{\ sqrt{8}} + \压裂{1}{\ sqrt {2}} \ cdot \压裂{1}{\ sqrt{8}} = \压裂{2}{\ sqrt {16}} \)。

同样,这样做与第二列给出了振幅\ \(压裂{1}{\ sqrt {2}} \ cdot \压裂{1}{\ sqrt {8}} \ cdot 1 + \压裂{1}{\ sqrt {2}} \ cdot \压裂{1}{\ sqrt {8}} \ cdot 1 = - \压裂{2}{\ sqrt {16}} \)。

在第三列,两项相消干涉的状态\ \(刃{010}\)不会出现在最终的注册叠加。也是如此的4th,5th、6th列。以下的步骤7th和8th列,我们得到这个结果最终注册叠加:

\ [\ displaylines{\刃{\ psi} = \压裂{2}{\ sqrt{16}} \刃{000}\压裂{2},{\ sqrt{16}} \刃{001}\压裂{2},{\ sqrt{16}} \刃{110}+ \压裂{2}{\ sqrt{16}} \刃{111}\ \ ~ \ \ = \压裂{1}{2}\离开(\刃{000}- \偈人{001}\刃{110}+ \刃{111}\右)}\]

这是一个相当简单的例子。让我们尝试一个困难。

上使用Hadamatrix消极的方面

在这个例子中,我们将使用Hadamatrix找出应用的结果\ (H_{所有}\)以下状态:

\[\刃{\ psi} = \压裂{1}{2}\离开(\刃{000}- \刃{001}+ \刃{011}- \刃{110}\)\]

让我们开始像我们之前做的,通过选择行叠加在原始的振幅,把每个州那些行,和删除不叠加在原始的行:

Hadamatrix示例4

下一个步骤是可选的,但我们认为它会让事情变得更加容易。我将带负号的振幅在第一个两行,和为求平衡,反转的迹象:每个单元格的行

Hadamatrix示例5

在我们看来,这使得它更明显的条款将如何建设性地和相消干涉。无论哪种方式,接下来的一步是经过每一列,乘以相应的系数,并把它们全部加起来:

Hadamatrix例子6

因为所有的原始振幅是相同的,每一项的振幅\ (1 / (2 \√{8})\)所以我们只添加阶段,最后乘以振幅使事情更简单。这将导致最后的叠加:

\[\刃{\ psi} = \压裂{4}{2 \√{8}}\刃{011}+ \压裂{2}{2 \√{8}}\刃{100}+ \压裂{2}{2 \√{8}}\刃{101}\压裂{2},{2 \√{8}}\刃{110}+ \压裂{2}{2 \√{8}}\刃{111}\]

基本上,Hadamatrix告诉你所有你需要知道的来计算\ (H_{所有}\)在任意叠加态。在某些情况下(如当所有的原始术语具有相同振幅),这使得它很容易算出的结果会是什么,由于快捷方式类似于我们的。

Interference-Based算法

量子干涉在许多量子算法是非常重要的,是其中一个因素,让他们更快比经典计算机能解决的事情。在下一节中,我们将开始看量子算法,计算速度比经典计算机可以。这是我们开始进入实际的用例,这些算法。Hadamatrix的原因,为什么我们发现它有用的理解为什么这些算法的工作,将会很快变得明显,当我们穿过它们。

最后更新:2022年7月1日